Espaces $L^1$, $L^2$, $L^p$ et $L^\infty$ en Latex

Espaces $L^p$ de $\Omega$

Les espaces $L^p(\Omega)$ sont des espaces fonctionnels qui permettent de décrire les fonctions intégrables sur un ensemble $\Omega$. Plus précisément, une fonction $f$ est dans l’espace $L^p(\Omega)$ si sa norme $L^p$ est finie, où la norme est définie par :

$$
\|f\|_{L^p(\Omega)} = \left( \int_{\Omega} |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p}
$$

$$ \|f\|_{L^p(\Omega)} = \left( \int_{\Omega} |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} $$

où $|f(x)|^p$ représente la valeur absolue de $f(x)$ élevée à la puissance $p$, et $\mathrm{d}x$ représente l’élément de volume dans l’espace $\Omega$. Les espaces $L^p(\Omega)$ sont des espaces de Banach pour $1 \leq p < \infty$.

Définition de l’espace $L^1(\Omega)$

L’espace $L^1(\Omega)$ est l’espace des fonctions $f$ telles que :

$$
\int_{\Omega} |f(x)| \mathrm{d}x < \infty
$$

$$ \int_{\Omega} |f(x)| \mathrm{d}x < \infty $$

Définition de l’espace $L^2(\Omega)$

L’espace $L^2(\Omega)$ est l’espace des fonctions $f$ telles que :

$$
\int_{\Omega} |f(x)|^2 \mathrm{d}x < \infty
$$

$$ \int_{\Omega} |f(x)|^2 \mathrm{d}x < \infty $$

Définition de l’espace $L^\infty(\Omega)$

L’espace $L^\infty(\Omega)$ est l’espace des fonctions $f$ telles que :

$$
\|f\|_{L^\infty(\Omega)} = \inf \{ M \in [0,\infty] : |f(x)| \leq M \text{ p.p. sur } \Omega \}
$$

$$ \|f\|_{L^\infty(\Omega)} = \inf \{ M \in [0,\infty] : |f(x)| \leq M \text{ p.p. sur } \Omega \} $$

où $p.p.$ signifie "presque partout". La norme $L^\infty$ mesure la valeur maximale de la fonction $f$ sur l’ensemble $\Omega$.

Exemples d’utilisation de la norme $L^p$

Lorsque $p = 2$, la norme $L^p$ correspond à la norme euclidienne dans un espace de Hilbert, et est souvent notée $\|f\|_{2}$. Pour une fonction $f \in L^2(\Omega)$, on a :

$$
\|f\|_2 = \sqrt{\int_{\Omega} |f(x)|^2 \mathrm{d}x}
$$

$$ \|f\|_2 = \sqrt{\int_{\Omega} |f(x)|^2 \mathrm{d}x} $$

Les inégalités de Hölder

Les inégalités de Hölder sont des inégalités qui permettent de majorer une intégrale de produit de fonctions dans un espace $L^p(\Omega)$, en termes de la norme $L^p$ des fonctions individuelles. Plus précisément, si $p$ et $q$ sont des nombres tels que $1/p + 1/q = 1$, alors pour toutes fonctions $f$ et $g$ dans $L^p(\Omega)$, on a :

$$
\left|\int_{\Omega} f(x) g(x) \mathrm{d}x \right| \leq \|f\|_{L^p(\Omega)} \|g\|_{L^q(\Omega)}
$$

$$ \left|\int_{\Omega} f(x) g(x) \mathrm{d}x \right| \leq \|f\|_{L^p(\Omega)} \|g\|_{L^q(\Omega)} $$

Ces inégalités ont des applications importantes en analyse fonctionnelle, en théorie des probabilités, et en physique mathématique.