Démonstration / preuve de cos²x + sin²x=1

Faisons la preuve de l’égalité suivante :

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad\cos^2 x+ \sin^2 x =1$$

Preuve/Démonstration utilisant la dérivée

Soit $f$ la fonction définie comme suit :

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \sin^2 x$$

$$ \begin{aligned} f’(x)&=(\cos^2 x+ \sin^2 x)’ \\ &= 2 \cos x (-\sin x) + 2 \sin x \cos x\\ &= - 2 \cos x \sin x + 2 \sin x \cos x\\ & =0 \end{aligned} $$

Cela signifie que $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ :

$$\exists C \in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=C$$

Prenons $x=0$ :

$$f(x=0)=\cos^2 0+ \sin^2 0=1$$

On conclut :

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \sin^2 x =1$$

Preuve/Démonstration utilisant les formules d’addition

Nous avions précédemment démontrer la formule d’addition

$$\cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$$

Soit $a=x\in \mathbb{R}$. Prenons $b=-a=-x$, on a, puisque cosinus est une fonction paire et sinus une fonction impaire :

$$ \begin{aligned} \cos(x-x)&=\cos x \cos (-x) - \sin x \sin (-x)\\ &= \cos x \cos x - \sin x (-\sin x)\\ &= \cos^2 x + \sin^2 x\\ &=\cos 0\\ &=1 \end{aligned} $$

On conclut alors :

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(x)=\cos^2 x+ \sin^2 x=1$$

Preuve/Démonstration utilisant le cercle trigonométrique

Considérons le cercle trigonométrique de rayon $r=1$. Dans le triangle suivant, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
$x= \cos \theta$, $y= \sin \theta$. L’hypoténuse $r= 1$, on a alors :

$$ \begin{aligned} x^2+y^2=r^2&=1 \\ \cos^2 \theta+ \sin^2 \theta&=1 \end{aligned} $$

On a alors :

$$\forall \theta\in [0, 2\pi ], \quad \cos^2 \theta+ \sin^2 \theta =1 $$

On conclut que :

$$\forall x\in \mathbb{R}, \quad\cos^2 x+ \sin^2 x =1$$

Le passage des radians $\theta$ en degrés $x$ se faisant comme suit :

$$x=\theta \times \frac{180}{\pi}$$

Exemple : $\theta=\pi/4$

$$x= \frac{\pi}{4} \times \frac{180 }{\pi}= \frac{180 }{4}=45^\circ$$