Dimostrazione del limite tan x / x = 1 quando x tende a 0?

Risultato

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

Dimostrazione del limite di sin x / x = 1 quando x tende a 0

Prova/Dimostrazione

Sviluppando, si ha che:

\[\frac{\tan x}{x} =\frac{\sin x}{x \cdot \cos x}=\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x} \\\] \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} &= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x}\right)\\ &=1 \times 1\\ &=1 \end{aligned}\]

Otteniamo:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1\]