Limite de tan x / x = 1 quand x tend vers 0

Preuve / démonstration de limite tan x / x = 1 quand x tend vers 0 ?

Prérequis

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

Démonstration de limite de sin x / x = 1 quand x tend vers 0

Preuve/Démonstration

On a en développant:

$$\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cdot \cos x}=\frac{\sin x}{x}\times \frac{1}{\cos x}$$ $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x}\times \frac{1}{\cos x})\\ & =1\times 1\\ & =1\end{array}$$

on obtient alors:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1$$