Limite de tan x / x = 1 quand x tend vers 0

Prérequis

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Preuve/Démonstration
On a en développant :

$$ \frac{\tan x}{x} =\frac{\sin x}{x \cdot \cos x}=\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x} \\ $$

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} &= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x}\right)\\ &=1 \times 1\\ &=1 \end{aligned} $$

on obtient alors :

$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $$