Preuve / démonstration de limite tan x / x = 1 quand x tend vers 0 ?

Prérequis

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

Démonstration de limite de sin x / x = 1 quand x tend vers 0

Preuve/Démonstration

On a en développant:

\[\frac{\tan x}{x} =\frac{\sin x}{x \cdot \cos x}=\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x} \\\] \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} &= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x}\right)\\ &=1 \times 1\\ &=1 \end{aligned}\]

on obtient alors:

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1\]