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Preuve / démonstration de limite tan x / x = 1 quand x tend vers 0 ?
Prérequis
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
Démonstration de limite de sin x / x = 1 quand x tend vers 0
Preuve/Démonstration
On a en développant :
$$
\frac{\tan x}{x} =\frac{\sin x}{x \cdot \cos x}=\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x} \\
$$
(Merci Karinou pour la correction)
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} &= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \times \frac{1}{\cos x}\right)\\ &=1 \times 1\\ &=1 \end{aligned} $$
on obtient alors :
$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $$