Preuve / démonstration de limite (1+x)^(1/x)=e quand x tend vers 0 ?

Nous allons démontrer l’égalité suivante: limx0(1+x)1x=e

Tout d’abord, posons:u(x)=(1+x)1x.

On a :

lnu(x)=ln(1+x)1x=1xln(1+x)=ln(1+x)x

Deux possibilités pour étudier cette limite.

Première possibilité: Règle de l’Hôpital Soit deux fonctions f et g dérivable sur un intervalle ouvert I à l’exception d’un point c contenu dans I, si limxcf(x)=limxcg(x)=0 ou ±,g(x)0 pour tout x dans I avec xc, et limxcf(x)g(x) existe, alors

limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)

Ici c=0,f(x)=ln(1+x), g(x)=x. Cela donne:

limx0ln(1+x)x=limx011+x1=1

Seconde possibilité: en utilisant la définition du taux d’accroissement/nombre dérivé.

limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)ln(1+0)x0=limx0f(x)f(0)x0=f(0)=1

avec f(x)=ln(1+x) and f(x)=11+x

On a:

limx0(lnu(x))=limx0ln(1+x)x=1exp(limx0(lnu(x))=exp(1)limx0(exp(lnu(x))=elimx0(u(x))=e

On conclut alors:

limx0(1+x)1x=e