Limite de (1+x)^(1/x)=e quand x tend vers 0

Preuve / démonstration de limite (1+x)^(1/x)=e quand x tend vers 0 ?

Nous allons démontrer l’égalité suivante: $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

Tout d’abord, posons:$u(x)=(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$.

On a :

$$\begin{array}{rl}\ln u(x)& =\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1}{x}\ln (1+x)=\frac{\ln (1+x)}{x}\end{array}$$

Deux possibilités pour étudier cette limite.

Première possibilité: Règle de l’Hôpital Soit deux fonctions $f$ et $g$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ à l’exception d’un point $c$ contenu dans $I$, si ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(x)=0}$ ou $\pm \mathrm{\infty },g^{\prime }(x)\ne 0$ pour tout $x$ dans $I$ avec $x\ne c,$ et ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ existe, alors

$$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

Ici $c=0$,$f(x)=\ln (1+x)$, $g(x)=x$. Cela donne:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{ln(1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{1+x}}}{1}=1$$

Seconde possibilité: en utilisant la définition du taux d’accroissement/nombre dérivé.

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{ln(1+x)}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)=1\end{array}$$

avec $f(x)=\ln (1+x)$ and ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}}$

On a:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}(\ln u(x))& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\\ \exp (\underset{x\to 0}{lim}(\ln u(x))& =\exp (1)\\ \underset{x\to 0}{lim}(\exp (\ln u(x))& =e\\ \underset{x\to 0}{lim}(u(x))& =e\end{array}$$

On conclut alors:

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$