Derivata di una funzione inversa

Promemoria

Abbiamo dimostrato in precedenza il risultato relativo alla derivata delle funzioni composte.

Consideriamo $I$ e $J$ due intervalli di $\mathbb{R}$. Siano due funzioni $u,v$ definite da

$$ \begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

due funzioni tali che $u(I) \subset J$. Sia $x$ un punto dell’intervallo $I$.
Se $u$ è derivabile nel punto $x$ e $u$ è derivabile nel punto $v(x)$ allora il composto $u \circ v$ è derivabile nel punto $x$ e

$$ \forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) $$

Prova/Dimostrazione

Applicando la formula per la derivata delle funzioni composte con $u=f,v=f^{-1}$, si ottiene:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x) $$

Ora, per definizione di funzione inversa:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x $$

dove $Id$ è la funzione identità.

Poi abbiamo:

$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1 $$

Quindi

$$ \begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned} $$

Concludiamo:

$$ (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))} $$