Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics.
Home > Matematica > Derivata di funzioni > Derivata di una funzione inversa
Tutte le versioni di questo articolo: <English> <Español> <français> <italiano>
La derivata f^-1 di una funzione inversa di f è data da: (f^-1)’(x)=1 / f’ (f^-1(x))
Per dimostrare questo risultato, applicheremo la formula per la derivata delle funzioni composte alla funzione f e alla sua biiezione f^-1.
Promemoria
Abbiamo dimostrato in precedenza il risultato relativo alla derivata delle funzioni composte.
Consideriamo $I$ e $J$ due intervalli di $\mathbb{R}$. Siano due funzioni $u,v$ definite da
$$ \begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$
due funzioni tali che $u(I) \subset J$. Sia $x$ un punto dell’intervallo $I$.
Se $u$ è derivabile nel punto $x$ e $u$ è derivabile nel punto $v(x)$ allora il composto $u \circ v$ è derivabile nel punto $x$ e
$$ \forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) $$
Applicando la formula per la derivata delle funzioni composte con $u=f,v=f^{-1}$, si ottiene:
$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x) $$
Ora, per definizione di funzione inversa:
$$ \left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x $$
dove $Id$ è la funzione identità.
Poi abbiamo:
$$ \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1 $$
Quindi
$$ \begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned} $$
Concludiamo:
$$ (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))} $$