La derivata f^-1 di una funzione inversa di f è data da: (f^-1)’(x)=1 / f’ (f^-1(x))

Per dimostrare questo risultato, applicheremo la formula per la derivata delle funzioni composte alla funzione f e alla sua biiezione f^-1.

Promemoria

Abbiamo dimostrato in precedenza il risultato relativo alla derivata delle funzioni composte.

Consideriamo $I$ e $J$ due intervalli di $\mathbb{R}$. Siano due funzioni $u,v$ definite da

\[\begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned}\]

due funzioni tali che $u(I) \subset J$. Sia $x$ un punto dell’intervallo $I$. Se $u$ è derivabile nel punto $x$ e $u$ è derivabile nel punto $v(x)$ allora il composto $u \circ v$ è derivabile nel punto $x$ e

\[\forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x)\]

Prova/Dimostrazione

Applicando la formula per la derivata delle funzioni composte con $u=f,v=f^{-1}$, si ottiene: \(\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\)

Ora, per definizione di funzione inversa: \(\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x\)

dove $Id$ è la funzione identità.

Poi abbiamo: \(\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1\)

Quindi \(\begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned}\)

Concludiamo:

\[(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}\]