La dérivée f^-1 d’une fonction réciproque de f est donnée par: (f^-1)’(x)=1 / f’ (f^-1(x)) Pour démontrer ce résultat, nous allons appliquer la formule de la dérivée des foncions composées à la fonction f et à sa bijection f^-1.

Rappel

Nous avions précédemment démontrer le résultat relatif à dérivée de fonctions composées.

Considérons I et J deux intervalles de R. Soient deux fonctions u,v définies par

u:IRv:JR

deux fonctions telles que u(I)J. Soit x un point de l’intervalle I. Si u est dérivable au point x et u est dérivable au point v(x) alors la composée uv est dérivable au point x et

xI,(uv)(x)=u(v(x))v(x)

Preuve/Démonstration

En appliquant la formule de dérivée de fonctions composées avec u=f,v=f1, on a alors: (ff1)(x)=f(f1(x))(f1)(x)

Or, par définition d’une fonction réciproque: (ff1)(x)=(f1f)(x)=Id(x)=x

Id est la fonction identité.

On a alors: (ff1)(x)=(Id)(x)=1

D’où (ff1)(x)=f(f1(x))(f1)(x)=1

On conclut alors:

(f1)(x)=1f(f1(x))