La dérivée f^-1 d’une fonction réciproque de f est donnée par: (f^-1)’(x)=1 / f’ (f^-1(x))

Pour démontrer ce résultat, nous allons appliquer la formule de la dérivée des foncions composées à la fonction f et à sa bijection f^-1.

Rappel

Nous avions précédemment démontrer le résultat relatif à dérivée de fonctions composées.

Considérons $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Soient deux fonctions $u,v$ définies par

\[\begin{aligned} u&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ v&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned}\]

deux fonctions telles que $u(I) \subset J$. Soit $x$ un point de l’intervalle $I$. Si $u$ est dérivable au point $x$ et $u$ est dérivable au point $v(x)$ alors la composée $u \circ v$ est dérivable au point $x$ et

\[\forall x\in I, \quad \left(u \circ v\right)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x)\]

Preuve/Démonstration

En appliquant la formule de dérivée de fonctions composées avec $u=f,v=f^{-1}$, on a alors: \(\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\)

Or, par définition d’une fonction réciproque: \(\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=Id(x)=x\)

où $Id$ est la fonction identité.

On a alors: \(\left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\left(Id\right)^{\prime}(x)=1\)

D’où \(\begin{aligned} \left(f \circ f^{-1}\right)^{\prime}(x)&=f^{\prime}(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})^{\prime}(x)\\ &=1 \end{aligned}\)

On conclut alors:

\[(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}\]