Derivata della funzione composta

Derivata della funzione composta g ∘ f

Consideriamo $I$ e $J$ due intervalli di $\mathbb{R}$. Siano due funzioni $f,g$ definite da

$$ \begin{aligned} f&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ g&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

due funzioni tali che $f(I) \subset J$. Sia $x$ un punto dell’intervallo $I$.
Se $f$ è derivabile nel punto $x$ e $g$ è derivabile nel punto $f(x)$ allora il composto $g \circ f$ è derivabile nel punto $x$ e

$$ \forall x\in I, \quad \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$

Prova/Dimostrazione

Per definizione:

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(g \circ f)(x+h)-(g \circ f)(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{f(x+h)-f(x)}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

Definiamo il cambiamento di variabile $k=f(x+h)-f(x)$.

$$ \begin{aligned} k&=f(x+h)-f(x) f(x+h)&=f(x)+k \end{aligned} $$

abbiamo:

$$ \lim _{h \rightarrow 0} k = \lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x) = f(x+0)-f(x)=0 $$

Ciò significa che quando $h$ tende a 0, $k$ tende a 0.

Quindi studiare il limite quando $h$ tende a 0 è la stessa cosa che studiare il limite quando $k$ tende a 0 dopo aver cambiato la variabile:

$$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} =&\lim _{k\rightarrow 0} \frac{g({\color{red}{f(x)}}+k)-g({\color{red}{f(x)}})}{k}\\ &=g^{\prime}({\color{red}{f(x)}}) \end{aligned} $$

Otteniamo:

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x)\\ &=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

Concludiamo:

$$ \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$