Développement en série entière de la fonction cosinus cos x - Démonstration

Développement en série entière de la fonction cosinus

La fonction cosinus $\cos(x)$ peut être développée en série entière comme suit :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n) !}. $$

Théorème sur les fonctions développables en série entière

Théorème 1. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$ :

$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$

alors :
– la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle $\left]-r,r\right[$
– la suite $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ est unique et définie par :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n !} $$

Théorème 2. S’il existe des réels $r>0$ et M tels qu’on ait :

$$ \forall n \in \mathbf{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M. $$

alors la fonction $f$ est alors développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.

Preuve - Démonstration

Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x$ réel vérifiant $|x| \leq r$ :

$$ |\sin(x)| \leq 1, \quad |\cos(x)| \leq 1. $$

Par conséquent, on a :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right|=\left|\sin(x)\right|\text{ ou } \left|\cos(x)\right|\leq M=1. $$

En appliquant le Théorème 2 précédent des dérivées $n$-ièmes bornées, on en déduit que $\cos(x)$ est développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.

En appliquant alors le Théorème 1, on obtient :

$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos^{(n)}(0)}{n !} x^{n}. $$

Les coefficients $a_n$ sont déterminés par les dérivées successives de la fonction $\cos(x)$ évaluées en $x = 0$. Plus précisément, nous avons :

$$ \begin{align*} \cos^{\prime}(x)&=-\sin (x)\\ \cos^{(2)}(x)&=-\cos (x)\\ \cos^{(3)}(x)&=\sin (x)\\ \cos^{(4)}(x)&=\cos (x)\\ \cos^{(5)}(x)&=-\sin (x)\\ \cos^{(6)}(x)&=-\cos (x)\\ \end{align*} $$

En x=0 :

$$ \begin{align*} \cos^{\prime}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \cos^{(2)}(0)&=&-\cos (0)&=&-1&=&(-1)^{2 / 2}\\ \cos^{(3)}(0)&=&\sin (0)&=&0&=&0\\ \cos^{(4)}(0)&=&\cos (0)&=&1&=&(-1)^{4 / 2}\\ \cos^{(5)}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \cos^{(6)}(0)&=&-\cos (0)&=&-1&=&(-1)^{6 / 2}\\ \end{align*} $$

Par récurrence, et en évaluant en $x=0$, on obtient :

$$ a_k=\left.\cos^{(k)}(x)\right|_{x=0}=\left\{\begin{array}{ll} (-1)^{k / 2}, & k \text { pair } \\ 0, & k \text { impair } \end{array}\right. $$

Autrement dit :

$$ a_{2n}=\left.\cos^{(2n)}(x)\right|_{x=0}=\cos^{(2n)}(0)=(-1)^{n} $$

$$ a_{2n+1}=\left.\cos^{(2n+1)}(x)\right|_{x=0}=\cos^{(2n+1)}(0)=0 $$

En remplaçant les valeurs de $\cos^{(n)}(0)$ dans la série entière, nous obtenons :

$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n) !}. $$

Conclusion

Puisque $r>0$, le développement en série entière de la fonction cosinus $\cos(x)$ est donné par :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n) !}. $$