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Ci-dessous la démonstration du développement en série entière de la fonction exponentielle exp x.
$$ \begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}, \quad e^{x} &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} =1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+ \cdots \end{aligned} $$
Théorème 1. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$ :
$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$
alors :
– la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle$\left]-r,r\right[$
– la suite $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ est unique et définie par :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n !} $$
Théorème 2. S’il existe des réels $r>0$ et M tels qu’on ait :
$$ \forall n \in \mathbf{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M. $$
alors la fonction $f$ est alors développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.
Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x$ réel vérifiant $|x| \leq r$ :
$$|x| \leq r, \quad 0<\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{x}\right)=e^{x} \leq e^{r}$$
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right|=\left|e^x\right|\leq M. $$
En appliquant le Théorème 2 précédent des dérivées $n$-ièmes bornées, on en déduit que $f(x)=e^x$ est développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$
En appliquant alors le Théorème 1 :
$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} $$
Comme $f^{(n)}(0)=1$, on a :
$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $$
Puisque $r>0$, le développement en série entière de la fonction cosinus $\exp(x)$ est donné par :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $$