Développement en série entière de la fonction exponentielle exp x - Démonstration

Développement en série entière de exp x

$$ \begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}, \quad e^{x} &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} =1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+ \cdots \end{aligned} $$

Théorème sur les fonctions développables en série entière

Théorème 1. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$ :

$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$

alors :
– la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle$\left]-r,r\right[$
– la suite $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ est unique et définie par :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n !} $$

Théorème 2. S’il existe des réels $r>0$ et M tels qu’on ait :

$$ \forall n \in \mathbf{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M. $$

alors la fonction $f$ est alors développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.

Preuve - Démonstration

Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x$ réel vérifiant $|x| \leq r$ :

$$|x| \leq r, \quad 0<\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{x}\right)=e^{x} \leq e^{r}$$

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right|=\left|e^x\right|\leq M. $$

En appliquant le Théorème 2 précédent des dérivées $n$-ièmes bornées, on en déduit que $f(x)=e^x$ est développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$

En appliquant alors le Théorème 1 :

$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} $$

Comme $f^{(n)}(0)=1$, on a :

$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $$

Conclusion

Puisque $r>0$, le développement en série entière de la fonction cosinus $\exp(x)$ est donné par :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $$