Développement en série entière de la fonction sinus sin x - Démonstration

Développement en série entière de la fonction sinus

La fonction sinus $\sin(x)$ peut être développée en série entière comme suit :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$

Théorème sur les fonctions développables en série entière

Théorème 1. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$ :

$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$

alors :
– la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle $\left]-r,r\right[$
– la suite $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ est unique et définie par :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n !} $$

Théorème 2. S’il existe des réels $r>0$ et M tels qu’on ait :

$$ \forall n \in \mathbf{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M. $$

alors la fonction $f$ est alors développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.

Preuve - Démonstration

Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x$ réel vérifiant $|x| \leq r$ :

$$ |\cos(x)| \leq 1, \quad |\sin(x)| \leq 1. $$

Par conséquent, on a :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right|=\left|\cos(x)\right|\text{ ou } \left|\sin(x)\right|\leq M=1. $$

En appliquant le Théorème 2 précédent des dérivées $n$-ièmes bornées, on en déduit que $\sin(x)$ est développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.

En appliquant alors le Théorème 1, on obtient :

$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin^{(n)}(0)}{n !} x^{n}. $$

Les coefficients $a_n$ sont déterminés par les dérivées successives de la fonction $\sin(x)$ évaluées en $x = 0$. Plus précisément, nous avons :

$$ \begin{align*} \sin^{\prime}(x)&=\cos (x)\\ \sin^{(2)}(x)&=-\sin (x)\\ \sin^{(3)}(x)&=-\cos (x)\\ \sin^{(4)}(x)&=\sin (x)\\ \sin^{(5)}(x)&=\cos (x)\\ \sin^{(6)}(x)&=-\sin (x)\\ \end{align*} $$

En x=0 :

$$ \begin{align*} \sin^{\prime}(0)&=&\cos (0)&=&1&=&(-1)^{(1-1) / 2}\\ \sin^{(2)}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \sin^{(3)}(0)&=&-\cos (0)&=&-1&=&(-1)^{(3-1) / 2}\\ \sin^{(4)}(0)&=&\sin (0)&=&0&=&0\\ \sin^{(5)}(0)&=&\cos (0)&=&1&=&(-1)^{(5-1) / 2}\\ \sin^{(6)}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \end{align*} $$

Par récurrence, et en évaluant en $x=0$, on obtient :

$$ a_k=\left.\sin^{(k)}(x)\right|_{x=0}=\left\{\begin{array}{ll} (-1)^{(k-1) / 2}, & k \text { impair } \\ 0, & k \text { pair } \end{array}\right. $$

Autrement dit :

$$ a_{2n}=\left.\sin^{(2n)}(x)\right|_{x=0}=\sin^{(2n)}(0)=0 $$

$$ a_{2n+1}=\left.\sin^{(2n+1)}(x)\right|_{x=0}=\sin^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n} $$

En remplaçant les valeurs de $\sin^{(n)}(0)$ dans la série entière, nous obtenons :

$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$

Conclusion

Puisque $r>0$, le développement en série entière de la fonction sinus $\sin(x)$ est donné par :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$