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Accueil > Mathématiques > Développement en série entière > Développement en série entière de la fonction sinus sin x - Démonstration
Ci-dessous la démonstration du développement en série entière de la fonction sinus sin x.
La fonction sinus $\sin(x)$ peut être développée en série entière comme suit :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$
Théorème 1. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$ :
$$ \forall x \in ]-r, r[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$
alors :
– la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle $\left]-r,r\right[$
– la suite $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ est unique et définie par :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n !} $$
Théorème 2. S’il existe des réels $r>0$ et M tels qu’on ait :
$$ \forall n \in \mathbf{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M. $$
alors la fonction $f$ est alors développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.
Soit $n\in \mathbb{N}$ et $x$ réel vérifiant $|x| \leq r$ :
$$ |\cos(x)| \leq 1, \quad |\sin(x)| \leq 1. $$
Par conséquent, on a :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad\left|f^{(n)}(x)\right|=\left|\cos(x)\right|\text{ ou } \left|\sin(x)\right|\leq M=1. $$
En appliquant le Théorème 2 précédent des dérivées $n$-ièmes bornées, on en déduit que $\sin(x)$ est développable en série entière sur l’intervalle $]-r, r[$.
En appliquant alors le Théorème 1, on obtient :
$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin^{(n)}(0)}{n !} x^{n}. $$
Les coefficients $a_n$ sont déterminés par les dérivées successives de la fonction $\sin(x)$ évaluées en $x = 0$. Plus précisément, nous avons :
$$ \begin{align*} \sin^{\prime}(x)&=\cos (x)\\ \sin^{(2)}(x)&=-\sin (x)\\ \sin^{(3)}(x)&=-\cos (x)\\ \sin^{(4)}(x)&=\sin (x)\\ \sin^{(5)}(x)&=\cos (x)\\ \sin^{(6)}(x)&=-\sin (x)\\ \end{align*} $$
En x=0 :
$$ \begin{align*} \sin^{\prime}(0)&=&\cos (0)&=&1&=&(-1)^{(1-1) / 2}\\ \sin^{(2)}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \sin^{(3)}(0)&=&-\cos (0)&=&-1&=&(-1)^{(3-1) / 2}\\ \sin^{(4)}(0)&=&\sin (0)&=&0&=&0\\ \sin^{(5)}(0)&=&\cos (0)&=&1&=&(-1)^{(5-1) / 2}\\ \sin^{(6)}(0)&=&-\sin (0)&=&0&=&0\\ \end{align*} $$
Par récurrence, et en évaluant en $x=0$, on obtient :
$$ a_k=\left.\sin^{(k)}(x)\right|_{x=0}=\left\{\begin{array}{ll} (-1)^{(k-1) / 2}, & k \text { impair } \\ 0, & k \text { pair } \end{array}\right. $$
Autrement dit :
$$ a_{2n}=\left.\sin^{(2n)}(x)\right|_{x=0}=\sin^{(2n)}(0)=0 $$
$$ a_{2n+1}=\left.\sin^{(2n+1)}(x)\right|_{x=0}=\sin^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n} $$
En remplaçant les valeurs de $\sin^{(n)}(0)$ dans la série entière, nous obtenons :
$$ \forall x \in \left]-r,r\right[, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$
Puisque $r>0$, le développement en série entière de la fonction sinus $\sin(x)$ est donné par :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}. $$