Méthode du pivot de Gauss

Problème

On cherche à résoudre le système suivant de $n$ équations à $n$ inconnues $x_1,x_2,\ldots,x_n$ :

$$ \left \{ \begin{array}{c} a_{12}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n \end{array}\right. $$
Du point de vue matriciel, on a

$$Ax=b$$
avec

$$Ax= \left( \begin{array}{c c c c } a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c } x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c } b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right) =b $$

Exemple de résolution

Considérons le système suivant :

$$ \left \{ \begin{array}{cccccccl} x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&2&L_1\\ x_1&+&3x_2&-&2x_3&=&-1&L_2\\ 3x_1&+&5x_2&+&8x_3&=&8&L_3 \end{array}\right. $$
avec

$$ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -2\\ 3 & 5 & 8 \end{array} \right) , x= \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} \right) ,b= \left( \begin{array}{c} 2\\ -1\\ 8 \end{array} \right) $$

– Première étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables $x_1$ dans les lignes $L_2$ et $L_3$ :

$$ \left \{ \begin{array}{cccccccl} x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&2&L_1\\ &&x_2&-&4x_3&=&-3&L_2\leftarrow L_2-L_1\\ &&-x_2&+&2x_3&=&2&L_3\leftarrow L_3-3L_1 \end{array}\right. $$

– Seconde étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables $x_2$ dans la ligne $L_3$ :

$$ \left \{ \begin{array}{cccccccl} x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&2&L_1\\ &&x_2&-&4x_3&=&-3&L_2\\ &&&-&2x_3&=&-1&L_3\leftarrow L_3+L_2 \end{array}\right. $$
– En remontant le système, on obtient aisément la solution $x$ du système :

$$x=\left( \begin{array}{c} 3\\ -1\\ 1/2 \end{array} \right) $$

Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Triangularisation

$$k=1,\ldots,n-1\left\{ \begin{array}{l|ll} a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}&i=1,\ldots,k & j=1,\ldots,n \\ a_{ij}^{(k+1)}=0 &i=k+1,\ldots,n & j=1,\ldots,k \\ a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}-\displaystyle\frac{a_{ik}^{(k)}a_{kj}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}} & i=k+1,\ldots,n &j=k+1,\ldots,n\\ b_i^{(k+1)}=b_i^{(k)}&i=1,\ldots,k & \\ b_i^{(k+1)}=b_i^{(k)}-\displaystyle\frac{a_{ik}^{(k)}b_{k}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}&i=k+1,\ldots,n & \end{array}\right. $$
Soit $U$ la matrice échelonnée du système, on a alors

$$U=(u_{ij})_{1\leq i,j\leq n}=(a^{(n)}_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$$

Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Remontée et résolution

à€ présent la matrice $A$ du système linéaire est échelonnée, on doit alors résoudre le système triangulaire :

$$Ux=b^{(n)}$$
puisque $b^{(n)}$ rappelons le, est le second membre échelonné, il a subi les màªmes opérations que la matrice échelonnée $U$.

On utilise alors un algorithme de remontée pour le système $Ux = b^{(n)}$ :

$$ \left\{\begin{array}{ll} x_n = \displaystyle\frac{y_n}{u_{nn}}= \displaystyle\frac{y_n}{a^{(n)}_{nn}} ;& \\ x_i = \displaystyle\frac{1}{u_{ii}}(y_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j)= \displaystyle\frac{1}{a^{(n)}_{ii}}(y_i-\sum_{j=i+1}^{n}a^{(n)}_{ij}x_j) &\forall i=n-1,n-2,\ldots,1. \end{array}\right. $$