Dimostreremo la seguente uguaglianza:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

Dimostrazione utilizzando la derivata

Sia $f$ la funzione definita nel seguente modo:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x\] \[\begin{aligned} f'(x) & = (\cos^2 x + \sin^2 x)' \\ & = 2 \cos x (-\sin x) + 2 \sin x \cos x \\ & = -2 \cos x \sin x + 2 \sin x \cos x \\ & = 0 \end{aligned}\]

Ciò significa che $f$ è costante in $\mathbb{R}$:

\[\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = C\]

Prendiamo $x = 0$:

\[f(x = 0) = \cos^2 0 + \sin^2 0 = 1\]

Concludiamo:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

Dimostrazione utilizzando le formule di addizione

In precedenza abbiamo dimostrato la formula di addizione

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

Prendiamo $a = x \in \mathbb{R}$. Prendiamo $b = -a = -x$, abbiamo, dato che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari:

\[\begin{aligned} \cos(x - x) & = \cos x \cos (-x) - \sin x \sin (-x) \\ & = \cos x \cos x - \sin x (-\sin x) \\ & = \cos^2 x + \sin^2 x \\ & = \cos 0 \\ & = 1 \end{aligned}\]

Concludiamo quindi:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

Dimostrazione utilizzando il cerchio trigonometrico

Considera il cerchio trigonometrico di raggio $r = 1$. Nel seguente triangolo, possiamo applicare il teorema di Pitagora: $x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$. L’ipotenusa è $r = 1$, quindi abbiamo:

\[\begin{aligned} x^2 + y^2 = r^2 & = 1 \\ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & = 1 \end{aligned}\]

Quindi abbiamo:

\[\forall \theta \in [0, 2\pi], \quad \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\]

Concludiamo che:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

La conversione da radianti $\theta$ a gradi $x$ si effettua nel segu