Dimostriamo qui che la funzione coseno cos(-x)=cos x è pari geometricamente utilizzando la circonferenza unitaria.

Ci troviamo nella seguente configurazione:

  • circonferenza unitaria $\mathcal{C}(O,R=1)$
  • definizione dell’angolo $x$
  • definizione dell’angolo $-x$

Consideriamo quindi i rispettivi triangoli: $(OA_xA)$ e $(OA’_xA’).

Dimostrazione che il coseno è una funzione pari cos(-x) = cos (x)

Prendiamo le definizioni rispettive dei coseni degli angoli $x$ e $-x$.

Nel triangolo $(OA_xA)$:

\[\cos x=\frac{\textrm{adiacente}}{\textrm{ipotenusa}}=\frac{|OA_x|}{R}=\frac{|OA_x|}{1}=|OA_x|\]

Nel triangolo $(OA’_xA’)$:

\[\cos (-x)=\frac{\textrm{adiacente}}{\textrm{ipotenusa}}=\frac{|OA'_x|}{R}=\frac{|OA'_x|}{1}=|OA'_x|\]

Ora, dato che per costruzione abbiamo $\vert OA_x \vert = \vert OA’_x \vert $, otteniamo:

\[\forall x\in \mathbb{R},\quad: \cos (-x)=\cos x\]