La funzione coseno è pari cos(-x)=cos x

Dimostriamo qui che la funzione coseno cos(-x)=cos x è pari geometricamente utilizzando la circonferenza unitaria.

Ci troviamo nella seguente configurazione:

• circonferenza unitaria $\mathcal{C}(O,R=1)$
• definizione dell’angolo $x$
• definizione dell’angolo $-x$

Consideriamo quindi i rispettivi triangoli: $(O{A}_{x}A)$ e $(OA’_xA’).

Dimostrazione che il coseno è una funzione pari cos(-x) = cos (x)

Prendiamo le definizioni rispettive dei coseni degli angoli $x$ e $-x$.

Nel triangolo $(O{A}_{x}A)$:

$$\cos x=\frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}=\frac{|O{A}_x|}{R}=\frac{|O{A}_x|}{1}=|O{A}_x|$$

Nel triangolo $(O{A}_x^{\prime }{A}^{\prime })$:

$$\cos (-x)=\frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}=\frac{|O{A}_x^{\prime }|}{R}=\frac{|O{A}_x^{\prime }|}{1}=|O{A}_x^{\prime }|$$

Ora, dato che per costruzione abbiamo $|O{A}_x|=|O{A}_x^{\prime }|$, otteniamo:

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},:\cos (-x)=\cos x$$