Derivada del arcotangente arctan x

La derivada f’ de la función f(x)=arctan x es : f’(x) = 1 / (1 + x²) para todo x real. Para mostrar este resultado, usamos la derivada de la función inversa de tan x.

Derivada del arcotangente arctan x

La derivada $f’$ de la función $f(x)=\arctan{x}$ es: \(\forall x \in \mathbb{R} ,\quad f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\)

Prueba/Demostración

La función reciproca o inversa de $\arctan$ es $\tan$. Por lo tanto:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x\]

Usando el resultado de la derivada de la función inversa , entonces tenemos que:

\[(g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))}\]

Tomando: $g^{-1}=f=\arctan$ y entonces $g=f^{-1}=\tan$, tenemos:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))}\]

Pero, La derivada de la función tangente $g(x)=\tan x$ es: \(\forall x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}, \quad g'(x) = 1+\tan ^{2} x\)

Entonces tenemos:

\[\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}\\ \end{aligned}\]

Ahora por definición:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x\]

Concluímos que:

\[\forall x \in \mathbb{R} ,\quad f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\]