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Prueba de la regla de la cadena: derivada de una función compuesta

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Derivada de la función compuesta g(f(x))=(g ∘ f)(x) , la regla de la cadena se define por (g(f(x)))’ = (g ∘ f) ’(x) = g’ (f (x)) × f ’(x).
Derivada de la función compuesta u(v(x))=(u ∘ v)(x), la regla de la cadena se define por (u(v(x)))’ = (u ∘ v) ’(x) = u’ (v (x)) × v ’(x).

Regla de la cadena - derivada de la función compuesta g ∘ f

Consideramos $I$ y $J$ dos intervalos de $\mathbb {R} $ y dos funciones $ f, g $ definidas como sigue

$$ \begin{aligned} f&: I \rightarrow \mathbb{R}\\ g&: J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

tal que $f(I) \subset J$. Sea $x$ un punto del intervalo $I$.

Si $f$ es una función que es diferenciable en un punto $x$ and $g$ es diferenciable en un punto $f(x)$ entonces la función compuesta $g \circ f$ es diferenciable en $x$, y la regla de la cadena viene dada:

$$ \forall x\in I, \quad \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$

Prueba/Demostración

Tenemos por definición:

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(g \circ f)(x+h)-(g \circ f)(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{f(x+h)-f(x)}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

Usando el cambio de variable $k=f(x+h)-f(x)$

$$ \begin{aligned} k&=f(x+h)-f(x)\\ f(x+h)&=f(x)+k \end{aligned} $$

Tenemos:

$$ \lim _{h \rightarrow 0} k = \lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x) = f(x+0)-f(x)=0 $$

Es decir, cuando $h$ se acerca a 0, $k$ se acerca a 0.

Encontrar el límite cuando $h$ se acerca a 0, utilizando el cambio de variable, es lo mismo que encontrar el límite cuando $k$ se acerca a 0.

$$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} =&\lim _{k\rightarrow 0} \frac{g({\color{red}{f(x)}}+k)-g({\color{red}{f(x)}})}{k}\\ &=g^{\prime}({\color{red}{f(x)}}) \end{aligned} $$

Tenemos:

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x)\\ &=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

Concluímos que:

$$ \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$

En la misma sección

  1. Derivada de la función inversa
  2. Prueba de la regla de la cadena: derivada de una función compuesta
  3. Derivada del tangente tan x
  4. Derivada del arcotangente arctan x