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Dérivée de arctan x

La dérivée f’ de la fonction f(x)=arctan x est : f’(x) = 1 / (1 + x²) pour tout x réel. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .


Dérivée de arctan x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arctan{x}$ est :

$$ \forall x \in \mathbb{R} ,\quad f’(x) = \frac{1}{1+x^2} $$

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arctan$ est la fonction réciproque de $\tan$ autrement dit :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x $$

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a :

$$ (g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))} $$

En posant : $g^{-1}=f=\arctan$ et donc $g=f^{-1}=\tan$, on a :

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))} $$

Or :

La dérivée de la fonction tangeante $g(x)=\tan x$ est :

$$ \forall x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}, \quad g’(x) = 1+\tan ^{2} x $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\tan^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(f(x))}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}\\ \end{aligned} $$

Or, par définition :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\tan \circ \arctan\right)(x)=\tan(\arctan(x))=x $$

On conclut que :

$$ \forall x \in \mathbb{R} ,\quad f’(x) = \frac{1}{1+x^2} $$

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