Dérivée de fonction composée

Dérivée de fonction composée g rond f g ∘ f

Considérons $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Soient deux fonctions $f,g$ définies par

$$ \begin{aligned} f& : I \rightarrow \mathbb{R}\\ g& : J \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned} $$

deux fonctions telles que $f(I) \subset J$. Soit $x$ un point de l’intervalle $I$.
Si $f$ est dérivable au point $x$ et $g$ est dérivable au point $f(x)$ alors la composée $g \circ f$ est dérivable au point $x$ et

$$ \forall x\in I, \quad \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$

Preuve/Démonstration

On a par définition :

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(g \circ f)(x+h)-(g \circ f)(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{f(x+h)-f(x)}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

Définissons le changement de variable $k=f(x+h)-f(x)$

$$ \begin{aligned} k&=f(x+h)-f(x)\\ f(x+h)&=f(x)+k \end{aligned} $$

on a :

$$ \lim _{h \rightarrow 0} k = \lim _{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x) = f(x+0)-f(x)=0 $$

Cela veut dire que lorsque $h$ tend vers 0, $k$ tend vers 0.

Donc étuditer la limite lorsque $h$ tend vers 0, revient après changement de variable à étudier la limite lorsque $k$ tend vers 0 :

$$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} =&\lim _{k\rightarrow 0} \frac{g({\color{red}{f(x)}}+k)-g({\color{red}{f(x)}})}{k}\\ &=g^{\prime}({\color{red}{f(x)}}) \end{aligned} $$

On obtient :

$$ \begin{aligned} \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)} \times f^{\prime}(x)\\ &=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) \end{aligned} $$

On conclut alors :

$$ \left(g \circ f\right)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) $$