Ableitung von 1/x
Die Ableitung f’ der Funktion f(x)=1/x ist: f’(x) = -1/x^2 für alle nicht-null x
Ableitung von 1/x
Die Ableitung $f’$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ist:
\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]Beweis
Sei $x \in \mathbb{R}^*$
\[\begin{aligned} \frac{df}{dx}=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle \frac{1}{x+h}\cdot \frac{x}{x}- \frac{1}{x}\cdot \frac{x+h}{x+h}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+0)}\\ =&-\frac{1}{x^{2}} \end{aligned}\]Daher:
\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]Wenn du diesen Beitrag oder diese Website hilfreich fandest und unsere Arbeit unterstützen möchtest, erwäge bitte eine Spende. Danke!
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