Производная от 1/x

Производная f’ функции f(x)=1/x: f’(x) = -1/x^2 для всех ненулевых x

Производная от 1/x

Производная $f(x)=\frac{1}{x}$:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]

Доказательство

Пусть $x \in \mathbb{R}^*$

\[\begin{aligned} \frac{df}{dx}=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle \frac{1}{x+h}\cdot \frac{x}{x}- \frac{1}{x}\cdot \frac{x+h}{x+h}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+0)}\\ =&-\frac{1}{x^{2}} \end{aligned}\]

Таким образом:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]