1/x का अवकलज

फ़ंक्शन f(x)=1/x का अवकलज f’(x) है: f’(x) = -1/x^2 सभी गैर-शून्य x के लिए

1/x का अवकलज

फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{x}$ का अवकलज है:

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$

प्रमाण

माना $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$

$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dx}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x+h}\cdot फ़्रैक्शनx1-\frac{1}{x}\cdot फ़्रैक्शनx+h1}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ & =\underset{hजब0कीओरजाताहै}{lim}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ & =\underset{hजब0कीओरजाताहै}{lim}\frac{\frac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ & =\underset{hजब0कीओरजाताहै}{lim}\frac{-1}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+0)}\\ & =-\frac{1}{x^2}\end{array}$$

इस प्रकार:

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$