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Dérivée de 1/x

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La dérivée f’ de la fonction f(x)=1/x est : f’(x) = -1/x^2 pour tout x non nul

Dérivée de 1/x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est :

$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Démonstration

Soit $x \in \mathbb{R}^*$

$$ \begin{aligned} \frac{df}{dx}=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle \frac{1}{x+h}\cdot \frac{x}{x}- \frac{1}{x}\cdot \frac{x+h}{x+h}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+0)}\\ =&-\frac{1}{x^{2}} \end{aligned} $$

On a alors :

$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{1}{x^2}$$

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