1/x का अवकलज

फ़ंक्शन f(x)=1/x का अवकलज f’(x) है: f’(x) = -1/x^2 सभी गैर-शून्य x के लिए

1/x का अवकलज

फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{x}$ का अवकलज है:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]

प्रमाण

माना $x \in \mathbb{R}^*$

\[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} \cdot फ़्रैक्शन x{1} - \frac{1}{x} \cdot फ़्रैक्शन x+h{1}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &= \lim_{h जब 0 की ओर जाता है} \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &= \lim_{h जब 0 की ओर जाता है} \frac{\frac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ &= \lim_{h जब 0 की ओर जाता है} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+0)}\\ &= -\frac{1}{x^{2}} \end{aligned}\]

इस प्रकार:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]