1/x の導関数

関数 f(x)=1/x の導関数 f’(x) は、f’(x) = -1/x^2 となります（すべての非ゼロ x に対して）

1/x の導関数

関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ の導関数は次の通りです:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]

証明

$x \in \mathbb{R}^*$ とする

\[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{1}{x+h} \cdot \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x+h}{x+h}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{-1}{x(x+h)}}{1}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+0)}\\ &= -\frac{1}{x^{2}} \end{aligned}\]

したがって:

\[\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]