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La fonction cosinus est paire cos(-x)=cos x

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On démontre ici que la fonction cosinux cos(-x)=cos x est paire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.


On se met dans la configuration suivante :
 cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
 définition de l’angle $x$
 définition de l’angle $-x$

Considérez alors les triangles respectifs : $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.

Preuve/démonstration que cosinus est paire cos(-x) = cos (x)

Prenez la définition respective des cosinus des angles $x$ et $-x$.

Dans le triangle $(OA_xA)$ :

$$ \cos x=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_x|}{R}=\frac{|OA_x|}{1}=|OA_x| $$

Dans le triangle $(OA’_xA’)$ :

$$ \cos (-x)=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA’_x|}{R}=\frac{|OA’_x|}{1}=|OA’_x| $$

Or, puisque par construction on a $|OA_x|= |OA’_x|$, on retrouve que :

$$ \forall x\in \mathbb{R},\quad : \cos (-x)=\cos x $$

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