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La fonction cosinus est paire cos(-x)=cos x
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On démontre ici que la fonction cosinux cos(-x)=cos x est paire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.
On se met dans la configuration suivante :
– cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
– définition de l’angle $x$
– définition de l’angle $-x$
Considérez alors les triangles respectifs : $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.
Preuve/démonstration que cosinus est paire cos(-x) = cos (x)
Prenez la définition respective des cosinus des angles $x$ et $-x$.
Dans le triangle $(OA_xA)$ :
$$ \cos x=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_x|}{R}=\frac{|OA_x|}{1}=|OA_x| $$
Dans le triangle $(OA’_xA’)$ :
$$ \cos (-x)=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA’_x|}{R}=\frac{|OA’_x|}{1}=|OA’_x| $$
Or, puisque par construction on a $|OA_x|= |OA’_x|$, on retrouve que :
$$ \forall x\in \mathbb{R},\quad : \cos (-x)=\cos x $$
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