On démontre ici que la fonction cosinux cos(-x)=cos x est paire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.

On se met dans la configuration suivante :

  • cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
  • définition de l’angle $x$
  • définition de l’angle $-x$

Considérez alors les triangles respectifs: $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.

Preuve/démonstration que cosinus est paire cos(-x) = cos (x)

Prenez la définition respective des cosinus des angles $x$ et $-x$.

Dans le triangle $(OA_xA)$ :

\[\cos x=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_x|}{R}=\frac{|OA_x|}{1}=|OA_x|\]

Dans le triangle $(OA’_xA’)$:

\[\cos (-x)=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA'_x|}{R}=\frac{|OA'_x|}{1}=|OA'_x|\]

Or, puisque par construction on a $\vert OA_x \vert = \vert OA’_x \vert $, on retrouve que:

\[\forall x\in \mathbb{R},\quad: \cos (-x)=\cos x\]