Latex symbole dérivée partielle

Commande \partial en LaTeX

La commande \partial est utilisée en LaTeX pour représenter une dérivée partielle.

Utilisation basique

La commande \partial peut être utilisée comme suit pour afficher la dérivée partielle d’une fonction $f$ par rapport à une variable $x$ :

\frac{\partial f}{\partial x}

$$ \frac{\partial f}{\partial x} $$

Indice sous la dérivée partielle

Il est possible d’ajouter un indice sous la dérivée partielle pour préciser par rapport à quelle variable la dérivée est prise. Par exemple, pour représenter la dérivée partielle d’une fonction $f$ par rapport à la variable $x$ en spécifiant que la variable $y$ est constante, on peut utiliser la commande suivante :

\frac{\partial f}{\partial x}_y

$$ \frac{\partial f}{\partial x}_y $$

Dérivées partielles d’ordre supérieur

Il est également possible de représenter des dérivées partielles d’ordre supérieur. Par exemple, pour représenter la dérivée partielle seconde d’une fonction $f$ par rapport à la variable $x$, on peut utiliser la commande suivante :

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $$

Il est possible de combiner les notations pour les indices et les dérivées partielles d’ordre supérieur. Par exemple, pour représenter la dérivée partielle seconde d’une fonction $f$ par rapport aux variables $x$ et $y$, on peut utiliser la commande suivante :

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $$

Exemple d’équation aux dérivées partielles

Les équations aux dérivées partielles sont des équations qui impliquent des dérivées partielles de fonctions inconnues. Elles sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes physiques. Voici quelques exemples d’équations aux dérivées partielles célèbres :

– L’équation de la chaleur :

L’équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles qui modélise la diffusion de la chaleur dans un objet. Elle est donnée par :

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u $$

où $u(x, t)$ est la température à l’emplacement $x$ et au temps $t$, $\alpha$ est la diffusivité thermique et $\nabla^2$ est l’opérateur de Laplace.

– Les équations de Stokes :

Les équations de Stokes sont un système d’équations aux dérivées partielles qui modélisent le mouvement d’un fluide visqueux incompressible. Elles sont données par :

\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) &= - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}
\end{align}

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\\ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) &= - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} \end{align} $$

où $\mathbf{u}$ est la vitesse du fluide, $p$ est la pression, $\rho$ est la densité du fluide, $\mu$ est la viscosité dynamique et $\nabla^2$ est l’opérateur de Laplace.

– Les équations de Navier-Stokes :

Les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement d’un fluide visqueux incompressible. Elles ont une grande importance en mécanique des fluides, en ingénierie et en physique.

Les équations de Navier-Stokes en dimension $d$ sont :

\begin{align}
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, \quad \mathrm{pour} \quad \mathbf{x} \in \Omega, \\
\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0, \quad \mathrm{pour} \quad \mathbf{x} \in \Omega,
\end{align}

$$ \begin{align} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, \quad \mathrm{pour} \quad \mathbf{x} \in \Omega, \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0, \quad \mathrm{pour} \quad \mathbf{x} \in \Omega, \end{align} $$

où $\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$ est la vitesse du fluide à la position $\mathbf{x} \in \Omega$ et au temps $t$, $p(\mathbf{x},t)$ est la pression, $\rho$ est la masse volumique du fluide, $\nu$ est la viscosité cinématique, $\mathbf{f}(\mathbf{x},t)$ est la force externe appliquée au fluide, et $\nabla$ est l’opérateur gradient.

La première équation est l’équation de conservation de la quantité de mouvement, qui décrit l’évolution de la vitesse du fluide en fonction des forces qui s’appliquent. La seconde équation est l’équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse.

Les équations de Navier-Stokes sont non-linéaires et peuvent être très difficiles à résoudre. Elles sont souvent résolues numériquement à l’aide de méthodes telles que la méthode des éléments finis ou la méthode des différences finies.