إثبات أن الحد من sin x / x = 1 عندما يقترب x من 0

كيفية إثبات أن الحد من sin x / x = 1 عندما يقترب x من 0؟

مساحة المثلث الأزرق الصغير $OAB$ هي ${\displaystyle A(OAB)=\frac{1\cdot \sin x}{2}=\frac{\sin x}{2}}$

مساحة القطاع مع النقاط هي ${\displaystyle \pi \frac{x}{2\pi }=\frac{x}{2}}$

مساحة المثلث الأحمر الكبير $OAC$ هي ${\displaystyle A(OAC)=\frac{1\cdot \tan x}{2}=\frac{\tan x}{2}}$

ثم لدينا ${\displaystyle A(OAB)\le \frac{x}{2}\le A(OAC)}$:

$$0<\sin x\le x\le \tan x,{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in ]0,\frac{\pi }{2}[}$$

بما أن $0<\sin x$، لدينا $\begin{array}{rl}\frac{\sin x}{\sin x}& \le \frac{x}{\sin x}\le \frac{\tan x}{\sin x}\\ 1& \le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}\end{array}$

أخذ العكس:

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$$

بما أن الدوال ${\displaystyle \cos x,\frac{\sin x}{x},1}$ هي دوال زوجية، نستنتج أن:

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1,{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in ]-\frac{\pi }{2},0[\cup ]0,\frac{\pi }{2}[}$$

باستخدام مبرهنة العصاءة:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\cos x=\underset{x\to 0}{lim}1=1$$

نستنتج أن:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$