كيفية إثبات أن الحد من sin x / x = 1 عندما يقترب x من 0؟

مساحة المثلث الأزرق الصغير OAB هي A(OAB)=1sinx2=sinx2

مساحة القطاع مع النقاط هي πx2π=x2

مساحة المثلث الأحمر الكبير OAC هي A(OAC)=1tanx2=tanx2

ثم لدينا A(OAB)x2A(OAC):

0<sinxxtanx,x]0,π2[

بما أن 0<sinx، لدينا sinxsinxxsinxtanxsinx1xsinx1cosx

أخذ العكس:

cosxsinxx1

بما أن الدوال cosx,sinxx,1 هي دوال زوجية، نستنتج أن:

cosxsinxx1,x]π2,0[]0,π2[

باستخدام مبرهنة العصاءة:

limx0sinxx=limx0cosx=limx01=1

نستنتج أن:

limx0sinxx=1