如何证明当x趋近于0时sin x / x的极限等于1?

蓝色小三角形OAB的面积是A(OAB)=1sinx2=sinx2

带有点的扇形的面积是πx2π=x2

红色大三角形OAC的面积是A(OAC)=1tanx2=tanx2

然后,我们有A(OAB)x2A(OAC)

0<sinxxtanx,x]0,π2[

由于0<sinx,我们有 sinxsinxxsinxtanxsinx1xsinx1cosx

取倒数:

cosxsinxx1

由于cosx,sinxx,1函数都是偶函数,因此我们得出结论:

cosxsinxx1,x]π2,0[]0,π2[

通过使用夹逼定理:

limx0sinxx=limx0cosx=limx01=1

我们得出结论:

limx0sinxx=1