Ci-dessous le développement limité de la fonction 1/(1-x) autour de 0

Développement limité de 1/(1-x) en 0

\[\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &=1+x+x^{2}+\cdots+ x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned}\]

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

\[f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right|\]

Preuve - Démonstration

On a: $1-x^{n+1}=(1-x)\left(1+x+\cdots+x^{n}\right),$ on a

\[\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{(1-x)\left(1+x+\cdots+x^{n}\right)}{1-x}=1+x+\cdots+x^{n}\]

d’où au voisinage de 0:

\[\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+\cdots+x^{n}-\frac{x^{n+1}}{1-x}\\ &=1+x+\cdots+x^{n}+x^{n} \frac{-x}{1-x}\\ &=1+x+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right)\\ \end{aligned}\]

Puisque:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x}{1-x}=0\]

La fonction $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x}$ admet alors un développement limité en 0 à l’ordre $n$. Par le théorème d’unicité du développement limité, on a bien le résultat:

\[\frac{1}{1-x}=1+x+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right)\]