Développements limités au voisinage de 0

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Développements limités en 0

$$ \begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \\ \cos x &=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \sin x &=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \tan x &=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+o\left(x^{8}\right) \\ (1+x)^{\alpha} &=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \frac{1}{1-x} &=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \frac{1}{1+x} &=1-x+x^{2}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \sqrt{1+x} &=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \frac{1}{\sqrt{1+x}} &=1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} x^{2}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \ln (1+x) &=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \operatorname{ch} x &=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \operatorname{sh} x &=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \operatorname{th} x &=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15} x^{5}-\frac{17}{315} x^{7}+o\left(x^{8}\right) \\ \operatorname{argth} x &=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \arctan x &=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ \operatorname{argsh} x &=x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \arcsin x &=x+\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{8} \frac{x^{5}}{5}+\cdots+ \frac{(2 n) !}{2^{2n} (n !)^2} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ \end{aligned}$$