Développement limité de sin x en 0 - Démonstration

Ci-dessous le développement limité de la fonction sinus sin x autour de 0

Développement limité de la fonction sinus sin x en 0

$$\begin{array}{rl}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+2}\right)\end{array}$$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n}\in {\mathbb{N}}^{\ast },$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^n$

$$f(x)=o\left(x^n\right)⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta \in >0,\mathrm{\forall }x\in ]-\eta ,\eta [,|f(x)|<\epsilon \left|x^n\right|$$

Preuve - Démonstration

Soit $f(x)=\sin x$. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+\mathrm{o}\left(x^n\right)$$

On a :

$$\begin{array}{rl}(\sin (x){)}^{\prime }& =\cos (x)\\ (\sin (x){)}^{″}& =-\sin (x)\\ (\sin (x){)}^{‴}& =-\cos (x)\end{array}$$

Par récurrence, et en évaluant en $x=0$, on obtient:

$${(\sin (x){)}^{(k)}|}_{x=0}=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{(k-1)/2},& k\text{ impair }\\ 0,& k\text{ pair }\end{array}$$

Avec le Théorème de Taylor-Young, on obtient:

$$\begin{array}{rl}\sin (x)& =\sum _{k=0,k\text{ impair }}^{2n+1}\frac{(-1{)}^{(k-1)/2}}{k!}{x}^k+\mathrm{o}\left(x^{2n+2}\right)\\ & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+2}\right)\end{array}$$