Ci-dessous la démonstration du développement limité de la fonction sinus hyperbolique sh x , sinh x autour de 0

Développement limité de sh x en 0

\[\begin{aligned} \operatorname{sh} x &=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\ &=\frac{x^1}{1 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n +1)!}+o\left(x^{2n+1}\right) \end{aligned}\]

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

\[f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right|\]

Preuve - Démonstration - Méthode 1

Soit $f(x)=\sinh x$. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

\[f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\]

Le cosinus hyperbolique $\operatorname{ch} x=\cosh x$ est défini comme suit:

\[\operatorname{ch} x=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\]

On voit alors que:

\[(\sinh x)'=\cosh x, \quad (\sinh x)''= (\cosh x)'=\sinh x\]

De manière récurrente:

\[\begin{aligned} (\sinh x)^{(2p)} &=\sinh x \\ (\sinh x)^{(2p+1)} &=\cosh x \end{aligned}\]

De plus: \(\sinh 0=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=0, \quad \cosh 0=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1\)

Il ne reste alors

La dérivée $k$-ième de $f(x)=\sinh x$ en $x=0$, suivant que k soit paire ou impaire:

\[\begin{aligned} f^{(2p)}(0) & =0\\ f^{(2p+1)}(0) & =1\\ \end{aligned}\]

Il ne reste alors que les termes de dérivées d’ordre impaire:

\[\begin{aligned} \operatorname{sh} x &=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\ &=\frac{x^1}{1 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n +1)!}+o\left(x^{2n+1}\right) \end{aligned}\]

Preuve - Démonstration - Méthode 2

Par définition:

\[\operatorname{sh} x=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]

En prenant le développement limité de $e^{x}$ et $e^{-x}$ en 0 à l’ordre $2n+1$

\[\begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}\cdots+\frac{x^{2n}}{2n !} +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ e^{-x} &=1-\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}-\frac{x^{3}}{3 !}\cdots+\frac{x^{2n}}{2n !}-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ sh(x)=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} &=\frac{x^1}{1 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n +1)!}+o\left(x^{2n+1}\right) \end{aligned}\]