Développement limité du sinus hyperbolique sh x , sinh x en 0 - Démonstration

Ci-dessous la démonstration du développement limité de la fonction sinus hyperbolique sh x , sinh x autour de 0

Développement limité de sh x en 0

$$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}x& =\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & =\frac{x^1}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\end{array}$$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n}\in {\mathbb{N}}^{\ast },$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^n$

$$f(x)=o\left(x^n\right)⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta \in >0,\mathrm{\forall }x\in ]-\eta ,\eta [,|f(x)|<\epsilon \left|x^n\right|$$

Preuve - Démonstration - Méthode 1

Soit $f(x)=\sinh x$. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+\mathrm{o}\left(x^n\right)$$

Le cosinus hyperbolique $\mathrm{ch}x=\cosh x$ est défini comme suit:

$$\mathrm{ch}x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

On voit alors que:

$$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x,(\sinh x{)}^{″}=(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$$

De manière récurrente:

$$\begin{array}{rl}(\sinh x{)}^{(2p)}& =\sinh x\\ (\sinh x{)}^{(2p+1)}& =\cosh x\end{array}$$

De plus: $\sinh 0=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=0,\cosh 0=\frac{e^0+e^{-0}}{2}=1$

Il ne reste alors

La dérivée $k$-ième de $f(x)=\sinh x$ en $x=0$, suivant que k soit paire ou impaire:

$$\begin{array}{rl}{f}^{(2p)}(0)& =0\\ f^{(2p+1)}(0)& =1\end{array}$$

Il ne reste alors que les termes de dérivées d’ordre impaire:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}x& =\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & =\frac{x^1}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\end{array}$$

Preuve - Démonstration - Méthode 2

Par définition:

$$\mathrm{sh}x=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

En prenant le développement limité de $e^x$ et $e^{-x}$ en 0 à l’ordre $2n+1$

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots +\frac{x^{2n}}{2n!}+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ e^{-x}& =1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}\cdots +\frac{x^{2n}}{2n!}-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\\ sh(x)=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}& =\frac{x^1}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+1}\right)\end{array}$$