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Développement limité de exp x en 0 - Démonstration

Ci-dessous la démonstration du développement limité de la fonction exponentielle exp x autour de 0


Développement limité de exp x en 0

$$ \begin{aligned} e^{x} &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Soit $f(x)=e^{x}$. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur un intervalle contenant $0$, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre $n$ en 0 qui s’écrit :

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\mathrm{o}\left(x^{n}\right) $$

La dérivée $k$-ième de $f$ est exactement $f$ :

$$f^{(k)}(x)=e^{x}$$


d’où

$$f^{(k)}(0)=e^{0}=1$$

On a alors :

$$ \begin{aligned} f(x) &=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !} +\mathrm{o}\left(x^{n}\right)\\ &=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \end{aligned} $$

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