Ci-dessous la démonstration du développement limité de la fonction cosinus hyperbolique ch x , cosh x autour de 0

Développement limité de ch x en 0

chx=coshx=ex+ex2=1+x22!+x44!++x2n(2n)!+o(x2n+1)

Définition du petit o , notation de Landau

Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour nN, on dit que f est négligeable devant xn

f(x)=o(xn)ε>0,η∈>0,x]η,η[,|f(x)|<ε|xn|

Preuve - Démonstration - Méthode 1

Soit f(x)=coshx. f est de classe Cn sur un intervalle contenant 0, d’après le Théorème de Taylor-Young, il existe un développement limité à l’ordre n en 0 qui s’écrit :

f(x)=k=0nf(k)(0)k!xk+o(xn)

Le sinus hyperbolique shx=sinhx est défini comme suit:

shx=sinhx=exex2

On voit alors que:

(coshx)=sinhx,(coshx)=(sinhx)=coshx

De manière récurrente:

(coshx)(2p)=cosh(coshx)(2p+1)=sinhx

De plus:

sinh0=e0e02=0,cosh0=e0+e02=1

La dérivée k-ième de f(x)=coshx en x=0, suivant que k soit paire ou impaire:

f(2p)(0)=1f(2p+1)(0)=0

Il ne reste alors que les termes de dérivées d’ordre paire:

chx=coshx=ex+ex2=1+x22!+x44!++x2n(2n)!+o(x2n+1)

Preuve - Démonstration - Méthode 2

Par définition:

chx=coshx=ex+ex2

En prenant le développement limité de ex et ex en 0 à l’ordre 2n+1

ex=1+x1!+x22!+x33!+x2n2n!+x2n+1(2n+1)!+o(x2n+1)ex=1x1!+x22!x33!+x2n2n!x2n+1(2n+1)!+o(x2n+1)chx=coshx=ex+ex2=1+x22!+x44!++x2n(2n)!+o(x2n+1)