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Développement limité de ln(1+x) en 0 - Démonstration

Ci-dessous le développement limité de la fonction ln(1+x) autour de 0


Développement limité de ln(1+x) en 0

$$ \begin{aligned} \ln (1+x) &=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

Définition du petit o , notation de Landau

Soit $f$ une fonction définie dans un voisinage de 0. Pour $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*},$ on dit que $f$ est négligeable devant $x^{n}$

$$ f(x)=o\left(x^{n}\right) \Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0, \exists \eta \in >0, \quad \forall x \in ]-\eta, \eta[ , \quad \left|f(x)\right| < \varepsilon \left|x^{n}\right| $$

Preuve - Démonstration

Intégration des développements limités
Soit $f$ $\in C(I, \mathbb{R})$ ayant un développement limité d’ordre $n$ en 0 $D L_{n}(0)$ de la forme $(n>0)$

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{k !} x^{k}+o\left(x^{n}\right) $$


Toute primitive F de $f$ sur I admet un un développement limité d’ordre $n+1$ en 0 $D L_{n+1}(0)$ de la forme

$$ F(x)=F(0)+\sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{(k+1) !} x^{k+1}+o\left(x^{n+1}\right) $$

En procédant à l’intégration du développement limité de 1/(1+x) en 0 :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &=1-x+x^{2}+\cdots+ (-1)^n x^{n}+o\left(x^{n}\right) \\ \end{aligned} $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} \int_0^x\frac{1}{1+x} dx =\ln (1+x) &=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{n} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+o\left(x^{n+1}\right) \\ \end{aligned} $$

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