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Formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a

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Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a

Considérons la démonstration de sin(a+b)=sin a cos b +sin b cos a comme acquise.

On a alors :

$$\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \sin(x+y)=\sin x \cos y+\sin y \cos x$$

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

$$\sin(x+y)=\sin (a-b)=\sin a \cos (-b)+\sin (-b) \cos a$$

Or la fonction cosinus est paire :

$$\cos (-b)=\cos b$$

et la fonction sinus est impaire :

$$\sin (-b)=-\sin b$$

d’où :

$$\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$$

On conclut :

$$\forall a,b \in \mathbb{R},\sin(a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$$

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