Math-Linux.com

Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics.

Accueil > Mathématiques > Trigonométrie > Formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a

Formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a

Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a


Considérons la démonstration de sin(a+b)=sin a cos b +sin b cos a comme acquise.

On a alors :

$$\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \sin(x+y)=\sin x \cos y+\sin y \cos x$$

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

$$\sin(x+y)=\sin (a-b)=\sin a \cos (-b)+\sin (-b) \cos a$$

Or la fonction cosinus est paire :

$$\cos (-b)=\cos b$$

et la fonction sinus est impaire :

$$\sin (-b)=-\sin b$$

d’où :

$$\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$$

On conclut :

$$\forall a,b \in \mathbb{R},\sin(a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$$

Dans la même rubrique

  1. Formule addition cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b
  2. Formule addition sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b
  3. Formule trigonométrique cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b
  4. Formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b - sin b cos a
  5. La fonction sinus est impaire sin(-x)=-sin x
  6. La fonction cosinus est paire cos(-x)=cos x