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La fonction sinus est impaire sin(-x)=-sin x
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On démontre ici que la fonction sinus sin(-x)=-sin x est impaire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.
On se met dans la configuration suivante :
– cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
– définition de l’angle $x$
– définition de l’angle $-x$
Considérez alors les triangles respectifs : $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.
Preuve/démonstration que sinus est impaire sin(-x) = -sin (x)
Prenez la définition respective des sinus des angles $x$ et $-x$.
Dans le triangle $(OA_xA)$ :
$$ \sin x=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_y|}{R}=\frac{|OA_y|}{1}=|OA_y| $$
Dans le triangle $(OA’_xA’)$ :
$$ \sin (-x)=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA’_y|}{R}=\frac{|OA’_y|}{1}=|OA’_y| $$
Or, puisque par construction on a $|OA_y|= -|OA’_y|$, on retrouve que :
$$ \forall x\in \mathbb{R},\quad : \sin (-x)=-\sin x $$
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