On démontre ici que la fonction sinus sin(-x)=-sin x est impaire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.

On se met dans la configuration suivante:

  • cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
  • définition de l’angle $x$
  • définition de l’angle $-x$

Considérez alors les triangles respectifs: $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.

Preuve/démonstration que sinus est impaire sin(-x) = -sin (x)

Prenez la définition respective des sinus des angles $x$ et $-x$.

Dans le triangle $(OA_xA)$ :

\[\sin x=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_y|}{R}=\frac{|OA_y|}{1}=|OA_y|\]

Dans le triangle $(OA’_xA’)$:

\[\sin (-x)=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA'_y|}{R}=\frac{|OA'_y|}{1}=|OA'_y|\]

Or, puisque par construction on a $\vert OA_y\vert= -\vert OA’_y\vert$, on retrouve que:

\[\forall x\in \mathbb{R},\quad: \sin (-x)=-\sin x\]