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La fonction sinus est impaire sin(-x)=-sin x

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On démontre ici que la fonction sinus sin(-x)=-sin x est impaire géométriquement à l’aide du cercle unitaire.


On se met dans la configuration suivante :
 cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
 définition de l’angle $x$
 définition de l’angle $-x$

Considérez alors les triangles respectifs : $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.

Preuve/démonstration que sinus est impaire sin(-x) = -sin (x)

Prenez la définition respective des sinus des angles $x$ et $-x$.

Dans le triangle $(OA_xA)$ :

$$ \sin x=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA_y|}{R}=\frac{|OA_y|}{1}=|OA_y| $$

Dans le triangle $(OA’_xA’)$ :

$$ \sin (-x)=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{|OA’_y|}{R}=\frac{|OA’_y|}{1}=|OA’_y| $$

Or, puisque par construction on a $|OA_y|= -|OA’_y|$, on retrouve que :

$$ \forall x\in \mathbb{R},\quad : \sin (-x)=-\sin x $$

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