La fonction tangente est impaire tan(-x)=-tan x

On se met dans la configuration suivante :
– cercle unitaire $\mathcal{C}(O,R=1)$
– définition de l’angle $x$
– définition de l’angle $-x$

Considérez alors les triangles respectifs : $(OA_xA)$ et $(OA’_xA’)$.

Preuve/démonstration que tangente est impaire tan(-x) = -tan (x)

Prenez la définition respective des tangentes des angles $x$ et $-x$.

Dans le triangle $(OA_xA)$ :

$$ \tan x=\frac{\textrm{opposé}}{\textrm{adjacent}}=\frac{|OA_y|}{|OA_x|} $$

Dans le triangle $(OA’_xA’)$ :

$$ \tan (-x)=\frac{\textrm{opposé}}{\textrm{adjacent}}=\frac{|OA’_y|}{|OA_x|} $$

Or, puisque par construction on a $|OA_y|= -|OA’_y|$, on retrouve que :

$$ \forall x\in \mathbb{R},x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z} :\quad \tan (-x)=\frac{|OA’_y|}{|OA_x|}=-\frac{|OA_y|}{|OA_x|}=-\tan x $$

Autre preuve/démonstration que tangente est impaire tan(-x) = -tan (x)

La définition d’une fonction impaire est $f(-x) = -f(x)$ pour tout for all $x$ du domaine de la fonction. Pour prouver que la fonction tangent est impaire, on doit alors montrer que $\tan(-x) = -\tan x$ pour tout $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}$

En utilisant l’identité trigonométrique, on a :

$$\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}$$

En utilisant le fait que la fonction sin est impaire $\sin(-x) = -\sin x$ et que la fonction cos est paire $\cos(-x) = \cos x$, on peut alors simplifier comme suit :

$$\tan(-x) = -\left(\frac{\sin x }{\cos x}\right) = -\tan x$$

ce qui signifie que la fonction tangente est impaire.