Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique cos (a-b)=cos a cos b + sin a sin b

Considérons la démonstration de cos (a+b)=cos a cos b - sin a sin b comme acquise.

On a alors:

\[\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y\]

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

\[\cos(x+y)=\cos (a-b)=\cos a \cos (-b)-\sin a \sin (-b)\]

Or la fonction cosinus est paire:

\[\cos (-b)=\cos b\]

et la fonction sinus est impaire:

\[\sin (-b)=-\sin b\]

d’où:

\[\cos (a-b)=\cos a \cos b - \sin a \times - \sin b\]

On conclut:

\[\forall a,b \in \mathbb{R},\cos (a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b\]