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Formule trigonométrique cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b

Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique cos (a-b)=cos a cos b + sin a sin b


Considérons la démonstration de cos (a+b)=cos a cos b - sin a sin b comme acquise.

On a alors :

$$\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$$

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

$$\cos(x+y)=\cos (a-b)=\cos a \cos (-b)-\sin a \sin (-b)$$

Or la fonction cosinus est paire :

$$\cos (-b)=\cos b$$

et la fonction sinus est impaire :

$$\sin (-b)=-\sin b$$

d’où :

$$\cos (a-b)=\cos a \cos b - \sin a \times - \sin b$$

On conclut :

$$\forall a,b \in \mathbb{R},\cos (a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$$

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