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Accueil > Mathématiques > Trigonométrie > Formule trigonométrique cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b
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Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique cos (a-b)=cos a cos b + sin a sin b
Considérons la démonstration de cos (a+b)=cos a cos b - sin a sin b comme acquise.
On a alors :
$$\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$$
En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$
$$\cos(x+y)=\cos (a-b)=\cos a \cos (-b)-\sin a \sin (-b)$$
Or la fonction cosinus est paire :
$$\cos (-b)=\cos b$$
et la fonction sinus est impaire :
$$\sin (-b)=-\sin b$$
d’où :
$$\cos (a-b)=\cos a \cos b - \sin a \times - \sin b$$
On conclut :
$$\forall a,b \in \mathbb{R},\cos (a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$$