Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique cos (a+b)=cos a cos b - sin a sin b

Soit (O;i,j) un repère orthonormé, a et b deux réels définis comme suit:

a=(i,OA)b=(OA,OB)

A et B sont les points définis sur le cercle trigonométrique relativement aux angles a et b.

On a alors:

a+π2=(i,OA)

A est le point défini sur le cercle trigonométrique relativement à l’angle a+π2 avec (OA,OA)=π2.

Par définition, OA est définir par:

OA=cosa×i+sina×j

OA est définir par:

OA=cos(a+π2)×i+sin(a+π2)×j=sina×i+cosa×j

OB est définir par:

OB=cos(a+b)×i+sin(a+b)×j

Considérons le repère orthonormé (O;OA,OA). Le vecteur OB dans ce repère est définir par:

OB=cosb×OA+sinb×OA=cosb×(cosa×i+sina×j)+sinb×(sina×i+cosa×j)=(cosa×cosbsina×sinb)×i+(sina×cosb+cosa×sinb)×j

Mais nous avons montré que

OB=cos(a+b)×i+sin(a+b)×j

On obtient alors par identification: cos(a+b)=cosa×cosbsina×sinbsin(a+b)=sina×cosb+cosa×sinb

On a alors démontré: a,bR,cos(a+b)=cosacosbsinasinb