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Nous allons montrer que pour tout élément x réel la formule trigonométrique sin(2x)=2 sin x cos x
Montrons que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(2x)=2 \sin x \cos x$$
Nous allons utiliser la formule d’addition précédemment démontrée :
$$\forall a,b \in \mathbb{R}, \quad \sin (a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$$
En posant $a=b=x$. On a $\forall x \in \mathbb{R}$ :
$$ \begin{aligned} \sin(2x)= \sin (x+x) &=\sin x \cos x + \cos x \sin x\\ & =\sin x \cos x + \sin x \cos x \\ &= 2 \sin x \cos x \end{aligned} $$
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin(2x)=2 \sin x \cos x$$