如何证明当x趋近于0时sin x / x的极限等于1？

蓝色小三角形$\color{blue}{OAB}$的面积是$\displaystyle A(\color{blue}{OAB})=\frac{1\cdot\sin x}{2}=\color{blue}{\frac{\sin x}{2}}$

带有点的扇形的面积是$\displaystyle\pi\frac{x}{2\pi}=\frac{x}{2}$

红色大三角形$\color{red}{OAC}$的面积是$\displaystyle A(\color{red}{OAC})=\frac{1\cdot\tan x}{2}=\color{red}{\frac{\tan x}{2}}$

然后，我们有$\displaystyle A(OAB) \leq \frac{x}{2} \leq A(OAC)$：

\[0\lt \sin x \leq x \leq \tan x, \quad\displaystyle\forall x \in ]0, \frac{\pi}{2}[\]

由于$0\lt \sin x$，我们有 \(\begin{aligned} \frac{\sin x}{\sin x} &\leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{\tan x}{\sin x}\\ 1&\leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}\\ \end{aligned}\)

取倒数：

\[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\]

由于$\displaystyle \cos x, \frac{\sin x}{x},1$函数都是偶函数，因此我们得出结论：

\[\quad\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1, \quad \displaystyle\forall x \in ]-\frac{\pi}{2}, 0[ \cup ]0, \frac{\pi}{2}[\]

通过使用夹逼定理：

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}= \lim _{x \rightarrow 0} \cos x=\lim _{x \rightarrow 0} 1 = 1\]

我们得出结论：

\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]