正弦函数是奇函数 sin(-x)=-sin x

我们在这里证明正弦函数 sin (-x) = - sin x 是奇函数，使用单位圆。

我们从以下配置开始：

• 单位圆 $\mathcal{C}(O,R=1)$
• 角度 $x$ 的定义
• 角度 $-x$ 的定义

现在考虑三角形：$(O{A}_{x}A)$ 和 $(O{A}_x^{\prime }{A}^{\prime })$。

正弦函数是奇函数 sin(-x) = -sin (x) 的证明

取角度 $x$ 和 $-x$ 的正弦函数的定义。

在三角形 $(O{A}_{x}A)$ 中：

$$\sin x=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{|O{A}_y|}{R}=\frac{|O{A}_y|}{1}=|O{A}_y|$$

在三角形 $(O{A}_x^{\prime }{A}^{\prime })$ 中：

$$\sin (-x)=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{|O{A}_y^{\prime }|}{R}=\frac{|O{A}_y^{\prime }|}{1}=|O{A}_y^{\prime }|$$

根据构造：$|O{A}_y|=-|O{A}_y^{\prime }|$，因此我们有

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},:\sin (-x)=-\sin x$$