Dérivée de a^x, a puissance x

La dérivée de f’ de la fonction f(x)=a^x est: f’(x) = ln(a) * a^x pour toute valeur x et a > 0

Dérivée de la fonction exponentielle a^x

La dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f(x)=a^x$ est:

$$\mathrm{\forall }x\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\ln (a)\cdot a^x$$

où $a$ est une constante positive et $ln(a)$ représente le logarithme népérien de $a$.

Preuve/Démonstration

Considérons la fonction $f(x)=a^x$. Sa dérivée $f^{\prime }(x)$ peut être obtenue en utilisant la définition de la dérivée comme limite:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}\\ & =a^x\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\end{array}$$

Pour trouver cette limite, considérons $a^h=e^{ln(a^h)}=e^{h\cdot ln(a)}$, donc:

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{h\cdot ln(a)}-1}{h}\\ & =\ln (a)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{h\cdot ln(a)}-1}{h\cdot ln(a)}\\ & =\ln (a)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^u-1}{u}\text{(avec }u=h\cdot ln(a))\\ & =\ln (a)\cdot 1\text{(car le résultat de la limite est connu pour être 1)}\\ & =\ln (a)\end{array}$$

Cela nous donne finalement que:

$$f^{\prime }(x)=\ln (a)\cdot a^x$$

Ce résultat montre que la dérivée de la fonction exponentielle de base $a$ est égale à $\ln (a)$ multiplié par la fonction elle-même.