La dérivée de f’ de la fonction f(x)=a^x est: f’(x) = ln(a) * a^x pour toute valeur x et a > 0

Dérivée de la fonction exponentielle a^x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=a^x$ est:

\[\forall x \in ]-\infty, +\infty[ , f'(x) = \ln(a) \cdot a^{x}\]

où $a$ est une constante positive et $ln(a)$ représente le logarithme népérien de $a$.

Preuve/Démonstration

Considérons la fonction $f(x)=a^x$. Sa dérivée $f’(x)$ peut être obtenue en utilisant la définition de la dérivée comme limite:

\[\begin{aligned} f^\prime(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h}-a^{x}}{h} \\ &=a^{x}\cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^{h}-1}{h} \end{aligned}\]

Pour trouver cette limite, considérons $a^h = e^{ln(a^h)} = e^{h \cdot ln(a)}$, donc:

\[\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^{h}-1}{h} &= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h \cdot ln(a)}-1}{h} \\ &= \ln(a) \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h \cdot ln(a)}-1}{h \cdot ln(a)} \\ &= \ln(a) \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{u}-1}{u} \quad \text{(avec } u = h \cdot ln(a)) \\ &= \ln(a) \cdot 1 \quad \text{(car le résultat de la limite est connu pour être 1)} \\ &= \ln(a) \end{aligned}\]

Cela nous donne finalement que:

\[f^\prime(x) = \ln(a) \cdot a^{x}\]

Ce résultat montre que la dérivée de la fonction exponentielle de base $a$ est égale à $\ln(a)$ multiplié par la fonction elle-même.