La dérivée de la fonction f(x)=x^n est: f’(x) = n x^(n-1).

Nous allons démontrer ce résultat en utilisant les notions de limite et en étudiant les différents cas qui se présentent en fonction de l’intervalle de définition de f et de sa dérivée f’ ainsi que du paramètre n.

Nous allons étudier les trois cas suivants:

Preuve/Démonstration pour n=0

f(x)=1=>f′(x)=0

Preuve/Démonstration pour n≥0

Supposons ∀n∈N∗,f(x)=xn. Nous avons:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(x+h)n−xnh=limh→0xn+(n1)xn−1h+(n2)xn−2h2+⋯+hn−xnh=limh→0nxn−1h+(n2)xn−2h2+⋯+hnh=limh→0(nxn−1+(n2)xn−2h+⋯+hn−1)=nxn−1

Nous avons donc:

∀n∈N∗,f′(x)=nxn−1

et puisque c’est vrai pour n=0, nous pouvons généraliser:

∀n∈N,f′(x)=nxn−1

Preuve/Démonstration pour n<0

Supposons maintenant ∀n∈N∗,f(x)=x−n. Nous avons ∀x≠0

f(x)⋅x−n=xn⋅x−n=1

En dérivant cette égalité:

(xn⋅x−n)′=(1)′xn(x−n)′+x−n(xn)′=0Using derivative productxn(x−n)′+x−n⋅nxn−1=0Using above resultxn(x−n)′+nx−1=0xn(x−n)′=−nx−1(x−n)′=−nx−n−1Using x≠0f′(x)=−nx−n−1

On a alors:

∀n∈N∗,∀x≠0,f′(x)=−nx−n−1

Donc:

∀m∈N−∗,∀x≠0,f′(x)=mxm−1

Conclusion

∀n∈Z,f′(x)=nxn−1:{Df=Rn≥0Df=R∗n<0}