Dérivée de ln x

Dérivée de ln x logarithme népérien de x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\ln x$ est :

$$ \forall x \in ]0, +\infty[ , f’(x) = 1/x$$

Démonstration

Soit $y$ la fonction défininie par le logarithme népérien de x

$y = f(x)= \ln x$

alors par définition (ln est la fonction réciproque de exp)

$e^y = e^{f(x)} = x$

En prenant respectivement la dérivée par rapport à $x$ des deux éléments , on a $\forall x \in ]0, +\infty[$ :

$e^y y’ = e^{f(x)} f’(x) = 1$

en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées : $(u\circ v)’= v’\times u’(v)$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=f(x)$

En substituant $e^y$ par $x$ on a :

$e^y y’ = x f’(x) = 1$

Puis :

$$ f’(x) = 1/x$$

Concepts utilisés

Dérivation des fonctions composées
Chain rule proof - derivative of a composite function