Dérivée de ln x
La dérivée f’ de la fonction f(x)=ln x est: f’(x) = 1/x pour tout x strictement positif.
Dérivée de ln x logarithme népérien de x
La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\ln x$ est: \(\forall x \in ]0, +\infty[ , f'(x) = 1/x\)
Démonstration
Soit $y$ la fonction défininie par le logarithme népérien de x
$y = f(x)= \ln x$
alors par définition (ln est la fonction réciproque de exp)
$e^y = e^{f(x)} = x$
En prenant respectivement la dérivée par rapport à $x$ des deux éléments , on a $\forall x \in ]0, +\infty[$ :
$e^y y’ = e^{f(x)} f’(x) = 1$
en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées: $(u\circ v)’= v’\times u’(v)$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=f(x)$
En substituant $e^y$ par $x$ on a:
$e^y y’ = x f’(x) = 1$
Puis:
\[f'(x) = 1/x\]Concepts utilisés
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