Dérivée de racine de x

La dérivée f’ de la fonction racine carré de x f(x)=√x est pour tout x strictement postif: f’(x)=1 / 2√x

Dérivée de la fonction racine de x

La dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est:

$$\mathrm{\forall }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Preuve/Démonstration

$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dx}=& \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$$

On conclut que:

$$\mathrm{\forall }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$