La dérivée f’ de la fonction racine carré de x f(x)=√x est pour tout x strictement postif: f’(x)=1 / 2√x

Dérivée de la fonction racine de x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est:

\[\forall x \in ]0,+\infty[ ,\quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Preuve/Démonstration

\[\begin{aligned} \frac{df}{dx}=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}\]

On conclut que:

\[\forall x \in ]0,+\infty[ ,\quad f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]