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Dérivée de racine de x

La dérivée f’ de la fonction racine carré de x f(x)=√x est pour tout x strictement postif : f’(x)=1 / 2√x


Dérivée de la fonction racine de x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est :

$$ \forall x \in ]0,+\infty[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Preuve/Démonstration

$$ \begin{aligned} \frac{df}{dx}=&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned} $$

On conclut que :

$$ \forall x \in ]0,+\infty[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

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