La dérivée de u(x)/v(x) est donnée par : (u’(x)v(x) - u(x) v’(x))/v^2(x). Nous allons en faire la démonstration en utilisant la règle de la dérivée d’une fonction inverse et la règle de dérivation d’un produit.

Dérivée de u(x)/v(x)

Soit $u(x)$ et $v(x)$ deux fonctions de variable réelle $x$ telles que $v(x) \neq 0$ et $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$.

La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x)$ est : \(\forall x \in \mathbb{R}^*, \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}\)

Démonstration

On exprime $f$ sous forme de produit, on a : \(f(x)= u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \\\)

En utilisant la règle de la dérivée d’une fonction inverse, on a : \(\left(\frac{1}{v(x)}\right)' = -\frac{v'(x)}{v^2(x)}\)

Ainsi, en utilisant la règle de la dérivée d’un produit de fonctions, on a : \(\begin{aligned} f'(x) &= \left(u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}\right)'\\ &= u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(\frac{1}{v(x)}\right)'\\ &= u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} - u(x) \cdot \frac{v'(x)}{v^2(x)}\\ &= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} \end{aligned}\)

On a donc :

\[\forall x \in \mathbb{R}^*, \quad v(x) \neq 0, \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}\]