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La dérivée de u(x)/v(x) est donnée par : (u’(x)v(x) - u(x) v’(x))/v^2(x). Nous allons en faire la démonstration en utilisant la règle de la dérivée d’une fonction inverse et la règle de dérivation d’un produit.
Soit $u(x)$ et $v(x)$ deux fonctions de variable réelle $x$ telles que $v(x) \neq 0$ et $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$.
La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x)$ est :
$$ \forall x \in \mathbb{R}^*, \quad f’(x) = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v^2(x)} $$
On exprime $f$ sous forme de produit, on a :
$$ f(x)= u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \\ $$
En utilisant la règle de la dérivée d’une fonction inverse, on a :
$$ \left(\frac{1}{v(x)}\right)’ = -\frac{v’(x)}{v^2(x)} $$
Ainsi, en utilisant la règle de la dérivée d’un produit de fonctions, on a :
$$ \begin{aligned} f’(x) &= \left(u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}\right)’\\ &= u’(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(\frac{1}{v(x)}\right)’\\ &= u’(x) \cdot \frac{1}{v(x)} - u(x) \cdot \frac{v’(x)}{v^2(x)}\\ &= \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v^2(x)} \end{aligned} $$
On a donc :
$$ \forall x \in \mathbb{R}^*, \quad v(x) \neq 0, \quad f’(x) = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{v^2(x)} $$