La dérivée de exp(u) est donnée par: u’.exp(u). Nous allons en faire la démonstration en utilisant la dérivée de exp et la règle de dérivation de composition de fonctions.

Dérivée de exp(u(x))

Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$. La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x) = \exp(u(x))$ est donnée par :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = u'(x) \cdot \exp(u(x))\]

Démonstration

On considère la fonction $g(x) = \exp(x)$ et la fonction $h(x) = u(x)$. Alors, $f(x) = g(h(x))$. En utilisant la règle de dérivation de la composition de fonction, on a :

\[f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\]

En utilisant la règle de dérivation de la fonction exponentielle, on a :

\[g'(x) = \exp(x)\]

Donc :

\[g'(h(x)) = \exp(u(x))\]

En utilisant la dérivée de la fonction $u(x)$, on a :

\[h'(x) = u'(x)\]

Finalement, on obtient :

\[f'(x) = \exp(u(x)) \cdot u'(x)\]

On en déduit que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = u'(x) \cdot \exp(u(x))\]