Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics.
Accueil > Mathématiques > Dérivée de fonction > Dérivée de exp(u)
Toutes les versions de cet article : <English> <français>
La dérivée de exp(u) est donnée par : u’.exp(u). Nous allons en faire la démonstration en utilisant la dérivée de exp et la règle de dérivation de composition de fonctions.
Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$. La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x) = \exp(u(x))$ est donnée par :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = u’(x) \cdot \exp(u(x)) $$
On considère la fonction $g(x) = \exp(x)$ et la fonction $h(x) = u(x)$. Alors, $f(x) = g(h(x))$. En utilisant la règle de dérivation de la composition de fonction, on a :
$$ f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x) $$
En utilisant la règle de dérivation de la fonction exponentielle, on a :
$$ g’(x) = \exp(x) $$
Donc :
$$ g’(h(x)) = \exp(u(x)) $$
En utilisant la dérivée de la fonction $u(x)$, on a :
$$ h’(x) = u’(x) $$
Finalement, on obtient :
$$ f’(x) = \exp(u(x)) \cdot u’(x) $$
On en déduit que :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = u’(x) \cdot \exp(u(x)) $$