La dérivée de exp(u) est donnée par: u’.exp(u). Nous allons en faire la démonstration en utilisant la dérivée de exp et la règle de dérivation de composition de fonctions.

Dérivée de exp(u(x))

Soit u(x) une fonction de variable réelle x. La dérivée f′(x) de la fonction f(x)=exp⁡(u(x)) est donnée par :

∀x∈R,f′(x)=u′(x)⋅exp⁡(u(x))

Démonstration

On considère la fonction g(x)=exp⁡(x) et la fonction h(x)=u(x). Alors, f(x)=g(h(x)). En utilisant la règle de dérivation de la composition de fonction, on a :

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

En utilisant la règle de dérivation de la fonction exponentielle, on a :

g′(x)=exp⁡(x)

Donc :

g′(h(x))=exp⁡(u(x))

En utilisant la dérivée de la fonction u(x), on a :

h′(x)=u′(x)

Finalement, on obtient :

f′(x)=exp⁡(u(x))⋅u′(x)

On en déduit que :

∀x∈R,f′(x)=u′(x)⋅exp⁡(u(x))