Dérivée de sin x

Dérivée de la fonction sin x

La dérivée $f’$ de la fonction sinus $f(x)=\sin x$ is :

$$ \forall x \in ]-\infty, +\infty[ , f’(x) = \cos x $$

Preuve/Démonstration

$$ \begin{aligned} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}&= \frac{\sin (x) \cos (h)+\cos (x) \sin (h)-\sin x}{h} \\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times\frac{\cos h}{h} -\sin x \times \frac{1}{h}\\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times \frac{\cos h-1}{h} \end{aligned} $$

On a :

$$ \begin{aligned} \frac{\cos h-1}{h} &=\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{\cos ^{2} h-1}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{-\sin ^{2} h}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{\sin h}{h} \times \frac{-\sin h}{\cos h+1} \\ \end{aligned} $$

D’où

$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 $$

puisque

$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1 $$

Cette égalité a été démontrée dans https://www.math-linux.com/mathematiques/limites/article/limite-de-sin-x-x-1-quand-x-tend-vers-0

Dès lors :

$$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos h-1}{h}\\ &=1\times \cos x+\sin x \times 0 \end{aligned} $$

On conclut que :

$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x $$