Dérivée de sin x

La dérivée f’ de la fonction sinus f(x)=sin x est: f’(x) = cos x pour toute valeur x.

Dérivée de la fonction sin x

La dérivée $f^{\prime }$ de la fonction sinus $f(x)=\sin x$ is:

$$\mathrm{\forall }x\in ]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\cos x$$

Preuve/Démonstration

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}& =\frac{\sin (x)\cos (h)+\cos (x)\sin (h)-\sin x}{h}\\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}& =\frac{\sin h}{h}\times \cos x+\sin x\times \frac{\cos h}{h}-\sin x\times \frac{1}{h}\\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}& =\frac{\sin h}{h}\times \cos x+\sin x\times \frac{\cos h-1}{h}\end{array}$$

On a:

$$\begin{array}{rl}\frac{\cos h-1}{h}& =\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}\\ & =\frac{{\cos }^{2}h-1}{h(\cos h+1)}\\ & =\frac{-{\sin }^{2}h}{h(\cos h+1)}\\ & =\frac{\sin h}{h}\times \frac{-\sin h}{\cos h+1}\end{array}$$

D’où

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}=0$$

puisque

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}=1$$

Cette égalité a été démontrée dans /mathematiques/limites/article/limite-de-sin-x-x-1-quand-x-tend-vers-0

Dès lors:

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}\times \cos x+\sin x\times \underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos h-1}{h}\\ & =1\times \cos x+\sin x\times 0\end{array}$$

On conclut que:

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x$$