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La dérivée f’ de la fonction sinus f(x)=sin x est : f’(x) = cos x pour toute valeur x.
La dérivée $f’$ de la fonction sinus $f(x)=\sin x$ is :
$$ \forall x \in ]-\infty, +\infty[ , f’(x) = \cos x $$
$$ \begin{aligned} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}&= \frac{\sin (x) \cos (h)+\cos (x) \sin (h)-\sin x}{h} \\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times\frac{\cos h}{h} -\sin x \times \frac{1}{h}\\ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times \frac{\cos h-1}{h} \end{aligned} $$
On a :
$$ \begin{aligned} \frac{\cos h-1}{h} &=\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{\cos ^{2} h-1}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{-\sin ^{2} h}{h(\cos h+1)} \\ &=\frac{\sin h}{h} \times \frac{-\sin h}{\cos h+1} \\ \end{aligned} $$
D’où
$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 $$
puisque
$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1 $$
Cette égalité a été démontrée dans https://www.math-linux.com/mathematiques/limites/article/limite-de-sin-x-x-1-quand-x-tend-vers-0
Dès lors :
$$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \times \cos x+\sin x \times \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos h-1}{h}\\ &=1\times \cos x+\sin x \times 0 \end{aligned} $$
On conclut que :
$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x $$